Turunan Fungsi

A. Turunan Fungsi Di Suatu Titik Dan Interpretasi Geometri

Konsep turunan dan diferensial dewasa ini tampil cemerlang dan memegang peranan penting di dalam menyelesaikan berbagai masalah pada cabang Ilmu Pengetahuan dan Teknologi . Karena itu banyak pengalaman dari kejadian sehari-hari yang nampak abstrak dan rumit, kemudian dapat ditemukan rumus matematikanya yang selanjutnya dihubungkan dengan suatu pola pikir (logika) dan penalaran yang dapat digunakan semua orang.

Definisi 1

Misalkan f suatu fungsi dengan persamaan

terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c,

maka turunan pertama fungsi f di titik

didefinisikan sebagai :

………….(5.1)

dengan

(perubahan x)

Selanjutnya jika limitnya ada, dikatakan f mempunyai

turunan di

. Sebaliknya, jika limitnya tidak ada,

dikatakan f tidak terturunkan di

Jika x menggantikan posisi

dan

menggantikan h

(gbr.5.1.b), maka rumus (5.1) termodifikasi menjadi

………….(5.2)

Contoh.1

Jika

, tentukan

(a).

(b).

Solusi (dengan rumus 5.1),

(a).

(b).

FUNGSI TURUNAN

Turunan fungsi f di sembarang titik dalam domain f juga merupakan suatu fungsi yang disebut fungsi turunan ,didefiniskan sebagai berikut:

Definisi 2

Jika f sebuah fungsi , maka turunan pertama fungsi f yang nilainya di setiap titik x pada domain f didefnisikan sebagai

…… (5.3)

asal limtnya ada. Selanjutnya fungsi f dikatakan terturunkan jika

ada, .

Jelaslah bahwa

juga merupakan suatu fungsi yang lain dalam variabel x.

Selanjutnya rumus (5.3) dapat dimodifikasi menjadi :

……(5.4)

Contoh 2

Tentukan turunan pertama fungsi berikut

(a).

(b).

(c).

Solusi (dengan rumus 5.3) :

(a).

Jadi

yang juga merupakan sutu fungsi

(b).

(juga sebuah fungsi)

(c).

Jadi

, juga merupakan suatu fungsi

B. Interpretasi Dari Turunan

F Turunan sebagai Gradien (Tanjakan) garis singgung

Pandang suatu grafik fungsi dengan persamaan

. Titik

dan

dua titik berdekatan yang terletak pada kurva f (gambar 5.2). Garis secan (talibusur) PQ mempunyai tanjakan

Tanjakan tali busur ini tidak lain daripada kenaikan nilai fungsi f antara c dan

Bilamana titik Q bergerak (sepanjang kurva f) mendekati P sedekat mungkin, maka h akan mengecil menuju nol (h® 0), akibatnya Secant line akan berimpit dengan Tangent line (Gbr.5.2). Dengan proses limit, tanjakan garis singgung dititik P dinyatakan dalam definisi berikut :

Definisi 3

Tanjakan (slope) garis singgung pada kurva

dititik

didefinisikan sebagai

………..(5.5)

asal limitnya ada.

Teorema 1

Agar supaya representasi grafik fungsi f mempunyai sebuah garis singgung di titik

dan tidak paralel sumbu y maka syarat perlu dan syarat cukupnya adalah fungsi f harus terturunkan di titik

. Tanjakan garis singgung tersebut tidak lain dari nilai turunan f di titik

, yaitu

Dengan demikian persamaan garis singgung melalui titik

pada grafik f adalah:

………[5.6]

Dan persamaan garis normal n melalui titik

adalah:

…......……[5.7]

Kedua garis ini saling tegak lurus di titik

pada kurva f

Contoh-3.

Suatu garis g menyinggung parabola

dititik

, tentukan

a. tanjakan garis singgung tersebut,

b. persamaan garis singgungnya dan persamaan garis normal di titik

c. Gambar grafik fungsi f, garis singgung dan garis normalnya

Solusi

(a). Misalkan garis g menyinggung parabola

di titik

, maka titik tersebut adalah

.Tanjakan garis singgung dititik

dihitung dengan rumus :

Jadi

(b). Dengan rumus (5.6 ) maka persamaan garis singgung di titik

adalah

Dan dengan rumus (5.7), maka persamaan garis normal melalui

titik

adalah

c. Grafik ditunjkan pada gambar 5-3

F Turunan sebagai Kecepatan /laju Sesaat

Jika suatu benda (partikel) bergerak dengan persamaan gerak adalah

, yang merupakan persamaan dalam waktu t , maka

Kecepatan rata-rata dinyatakan dengan

dan

Kecepatan sesaat dinyatakan dengan

.........(5.8)

asal limitnya ada.

Catatan :

Notasi untuk kecepatan pada saat t , biasanya dilambangkan sebagai

, sedangkan percepatan pada saat t dilambangkan

. Dimana

, dan

Contoh-4

Dari tepi sebuah jurang, sebuah batu dilemparkan tegak lurus ke bawah. Jarak yang ditempuh oleh batu tersebut dari titik asal hingga titik akhir t detik pertama dinyatakan oleh persamaan

Bila jarak diukur dalam satuan kaki dan waktu diukur dalam satuan detik, tentukanlah

1. Kecepatan sesaaat batu tersebut pada :

a. Akhir t detik

b. Akhir 3,4 detik

2. Setelah berapa lamakah batu jatuh tersebut mencapai kecepatan 132 kaki/dt.

Solusi

Jarak yang ditempuh batu tersebut merupakan fungsi waktu yang dapat ditulis sebagai :

1. a. Dengan rumus (5.8), maka kecepatan batu pada akhir t detik adalah:

Jadi laju (kecepatan) batu jatuh pada akhir t detik adalah

b. Kecepatan sesaat batu jatuh pada saat

detik adalah

kaki/dt.

2. Diketahui

= 132 kaki/dt, jadi kita harus menentukan nilai t sedmikian sehingga

. Dari hasil (a) didapat hubungan

detik

F Turunan sebagai Cost Marginal

Dalam masalah Ekonomi turunan sering diinterpretasikan sebagai “marginal”. Misalnya C(x) adalah fungsi biaya, yang menyatakan biaya produksi dari x unit barang, maka

menyatakan fungsi marginal cost (marginal cost function). Pembahasan selanjutnya dibicarakan pada masalah ekstrim

Hubungan antara turunan dan kekontinuan diberikan oleh teorema berikut:

Teorema

Misalkan fungsi f mempunyai turunan di x=a, yaitu

ada maka f kontinu di

. Kebalikan teorema tidak berlaku

LATIHAN

I. Untuk soal nomor 1 sampai 10 , tentukan tanjakan garis singgung di titik yang diberikan , kemudian tentukan pula persamaan garis singgung tersebut. Gambar kurva dan garis singgungnya

; di x = 1 5.

di P(-1,-2)

; di x = 2 6.

; di x = 1

;di x = 3 7.

; di x = 2

; di x = -2 8.

, di x = -1

Untuk soal nomor 9 sampai 14, gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan fungsi pada titik yang diberikan

; di x = 0 12.

; di x = 1

10.

; x = -1 13.

; x = 0

11.

; x = 3 14.

; x=1, a,b,c konstanta.

II. Dalam soal nomor 15 sampai 17, sebuah partikel bergerak sepanjang suatu garis koordinat. s adalah jarak dari titik asal yang ditempuh pada akhir t detik dalam satuan kaki. Tentukan kecepatan sesaat partikel tersebut pada akhir a detik.

15.

; a = 2 17.

, a = 4

16.

; a = 1,7

III. Tentukan fungsi turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut :

C. Rumus-Rumus Dasar Turunan

Menghitung turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan dengan melibatkan limit tidak selalu mudah, bahkan beberapa fungsi yang akan rumit dan bentuknya susah diselesaikan.

Dalam pasal ini akan diberikan rumus-rumus sederhana untuk menghitung turunan fungsi yang mudah dihapal dan mudah digunakan.

TEOREMA (Bukti di serahkan kepada pembaca)

1. Turunan Fungsi Konstan.

Jika

, c=konstan, maka

2. Turunan Fungsi Identitas

Jika

, maka

3. Turunan Fungsi pangkat

Jika

, maka

, dengan n bilangan bulat positif

4. Turunan dari hasil kali Fungsi dengan sebuah konstant

Jika k suatu konstanta da f terturunkan , maka

5. Turunan Jumlah Dua Buah Fungsi

Jika f dan g masing-masng tertutunkan dan (f

g) juga terturunkan, maka

(a)

(b).

. Kedua rumus ini dapat digeneralisasi

6. Turunan Perkalian dan Pembagian Dua Fungsi

Jika f dan g masing-masing terturunkan, dan

maka

(a).

(b).

(c).

7. Jika , maka ,

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus turunan.

Solusi :

b. Misalkan :

dan

Maka menurut teorema 6(a), diperoleh

c. Menurut teorema 6.(b), maka

d. Menurut teoema 7, maka

, maka menurut teoema 7, dperoleh

7. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

a. Jika

maka

b. Jika

maka

c. Jika

maka

d. Jika

maka

e. Jika

maka

f. Jika

maka

(untuk bagian c sampai f gunakan ;

8. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma:

a. Jika

maka

b. Jika

maka

c. Jika

maka

d. Jika

maka

Catatan

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus turunan.

Solusi :

, maka

. Jadi

LATIHAN

Tentukan turunan fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus dasar turunan

10.

11.

12.

13.

14.

D. Turunan Fungsi Komposit & Aturan Rantai

Misalkan fungsi f terturunkan di x dan fungsi g terturunkan di f(x) maka fungsi komposisi (gof) dapat diturunkan di x .

Misalkan

, maka

...……..…..(5.8)

Rumus (6.8) di atas dikenal dengan nama “Aturan Rantai” yang dapat dituliskan secara singkat sebagai berikut

Misalkan

dan

maka

fungsi komposisi

mempunyai turunannya sebagai:

...………………..….…….(5.9)

Rumus (6.9) dapat diperluas untuk sejumlah berhingga komposisi-komposisi fungsi, misalnya

dan

, maka

………………………...(5.10)

Contoh

Tentukan turunan fungsi komposisi berikut:

Solusi :

,dapat dituliskan sebagai

,dengan

Akibatnya,

dengan aturan rantai, diperoleh :

, dapat dituliskan sebagai

atau

dengan :

dan

Sehingga

Maka dengan aturan rantai, diperoleh :

, dapat dituliskan sebagai

Dengan memisalkan :

dan

Sehingga

. Maka

d. Misalkan

dan

Maka

Dengan aturan rantai dan rumus pangkat rasional diperoleh :

LATIHAN

Tentukan

dari setiap fungsi komposit berikut :

10.

11.

12.

, a konstan

E. Turunan Fungsi Invers (Fungsi Balikan)

Teorema

Misalkan f sebuah fungsi dengan persamaan

, kontinu dan monoton pada selang tutup

dan fungsi inversnya adalah

kontinu dan monoton pada selang

didalam

, maka turunan fungsi invers ini dinyatakan sebagai :

…….…. (5.11)

atau

……………………..…...(5.12)

Contoh

Tentukan fungsi invers, kemudian tentukan turunan fungsi invers tersebut bila diberi fungsi-fungsi berikut:

a. y = f (x) = x² – 2x – 5; x

1 b. y = f (x) =

Solusi :

a. Metode pertama

Kita cari dulu fungsi inversnya .

jadi fungsi inversnya adalah :

dengan mempertukarkan y dengan x diperoleh

dan turunannya fungsi inversnya adalah

b. Metode kedua

Karena

kontinu dan monoton turun pada

serta mempunyai turunan untuk

, maka

selanjutnya karena

maka

atau dalam variabel x diperoleh

Metode 1

atau dalam variabel x dapat ditulis:

sehingga turunan fungsi invers ini adalah :

Metode II

Maka

karena

, maka

dan dalam variabel x dapat dituliskan :

F. Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Misalkan fungsi

Maka fungsi inversnya adalah

;

Jadi untuk setiap x

Karena cos

maka cos y =

atau cos y = -

tetapi y

, maka cos y

sehingga cos y =

dan dapat ditulis :

……………………(1)

Rumus –rumus turunan fungsi invers trigonometri :

...................(2)

Secara umum jika u = u(x) dan

1. y = arcsin u

2. y = arctan u

3. y = arc sec u

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut:

a. y = arcsin x² c. y = 8(arccos

)

b. y =

d. y = sin(arctan

)

Solusi :

Catatan : Dari contoh di atas dapat dituliskan

a). y = arcsin x² Û x² = sin y

b). y = arctan e^2x Û e^2x = tan y

c). y = sin (arctan q) Û arctan q = sin y atau q = tan (sin y)

LATIHAN

Dalam soal nomor 1 sampai 6 , tentukanlah fungsi invers dan turunan fungsi invers dari fungsi:

Dalam soal nomor 7 sampai 10, tentukanlah turunan fungsi :

Dalam soal nomor 12 sampai 20 , tentukanlah turunan fungsi

G. Turunan Fungsi Implisit

Misalkan sebuah fungsi dinyatakan dalam persamaan y = f(x) , maka fungsi ini selalu dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = 0 , dimana

atau

. Sebaliknya, jika diberikan sebuah fungsi dalam bentuk F(x,y) = 0, dengan diketahui y fungsi dari x, ternyata tidak selalu dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisist y = f(x). Perhatikan illustrasi berikut:

(i)

[bentuk eksplisit]

(ii)

Tampak bahwa bentuk (i) dapat dinyatakan dalam bentuk implisist F(x,y) = 0 yaitu

Sedangkan bentuk (ii) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit y = f(x)

Fungsi yang dinyatakan sebagai y = f(x) disebut “fungsi eksplisit” dan fungsi yang terkandung dalam bentuk F(x,y)=0 disebut “fungsi implisit”. Setiap bentuk fungsi eksplisit merupakan bagian dari fungsi implisit, tetapi tidak sebaliknya. Secara geometri, grafik fungsi eksplisit merupakan bagian dari grafik fungsi implisitnya.

Perhatikan persamaan (iii)

adalah bentuk fungsi F(x,y)=0,

dan dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk eksplisit dengan batasan-batasan tertentu; yaitu

atau

Jadi dari aturan

, kita mengatakan bahwa y adalah fungsi implicit dari x, dan x adalah fungsi implicit dari y. Dan dari aturan

,mungkin terjadi y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x (atau sebaliknya), atau mungkin juga tidak.

Perhatikan pula persamaan:

ini mendefinisikan secara implisit fungsi x dalam y atau

, akan tetapi kita tidak mungkin menyatakan y dengan x atau y = f(x).

Selanjutnya kita pusatkan perhatian bagaimana menentukan turunan fungsi dalam bentuk implisit.

Contoh Tentukan

dari bentuk implisit berikut:

Solusi : a.

, setiap suku diturunkan terhadap x , yaitu :

Cara lain, kita tentukan dahulu fungsinya dalam bentuk eksplisit, kemudian kita turunkan. Dalam hal ini kita punyai:

atau

sehingga

karena

(Tunjukkan)

H. Fungsi Parameter Dan Turunannya

Untuk memahami konsep fungsi parameter terlebih dahulu perhatikan illustrasi berikut:

Misalkan suatu fungsi f :Â®Â , yang ditentukan oleh persamaan :

Fungsi F ini dapat dituliskan sebagai “sepasang fungsi” dalam variabel lain t dalam beberapa bentuk antara lain:

Perhatikan bahwa eliminasi t dari keempat persamaan di atas akan menghasilkan persamaan bentuk asalnya (i). Grafik fungsi F dari persamaan (i) adalah sebuah parabola di R², dan pada setiap persamaan (a),(b),(c) dan (d) diatas, titik (x,y) = (f(t),g(t)) terletak pada grafik parabola

. (lihat gambar 5.6 )

Keempat pasang persamaan di atas disebut “persamaan fungsi parameter t” dari

Definisi (fungsi parameter)

Misalkan f dan g masing-masing adalah fungsi yang terdefinisi

pada daerah asalnya DÍÂ,

maka :

menyatakan suatu “persamaan fungsi parameter” dengan t sebagai

parameter, dan grafiknya adalah himpunan titik-titik di R²

yaitu

TURUNAN FUNGSI PARAMETER

Perhatikan fungsi parameter

Bila parameter t dieliminasi dari kedua persamaan tersebut, diperoleh fungsi y = H(x) dengan x = f(t) sebab

, sehingga

Persamaan terakhir ini dapat ditulis sebagai bentuk eksplisit :

maka y = H(x) dengan x = f(t)

atau dalam bentuk implisit :

maka G (x,y)=0

Jadi jika diberikan fungsi parameter dengan persamaan

kita dapat menyatakan dalam bentuk sederhana sebagai:

Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh turunan fungsi parameter :

Teorema

Misalkan x = f(t) dan y = g(t), t Î D Í Â masing-masing fungsi yang mempunyai turunan terhadap peubah t dengan

dan menyatakan suatu persamaan fungsi parameter yang dinyatakan dalam bentuk y = H(x) atau G(x,y) = 0, maka turunan y terhadap x adalah:

Turunan kedua diberikan oleh :

Contoh

Tentukan

dari fungsi parameter berikut:

Solusi :

Dengan menggunakan teorema di atas diperoleh:

Contoh

Diberikan persamaan lingkaran dengan jari-jari = 2 yaitu

a. Bangunlah dua buah fungsi parameter yang berbeda dengan menggunakan persamaan lingkaran di atas dengan t sebagai parameter.

b. Tentukan turunan dari dua fungsi parameter tersebut, bagaimana kesimpulan anda?

Solusi :

a. Misalkan fungsi parameter :

(i)

(ii)

b. (i)

(ii)

Kesimpulan : Hasil turunan (i) sama dengan hasil turunan (ii)

I. Turunan Tingkat Tinggi (Orde Tinggi)

Turunan sebuah fungsi, juga merupakan sebuah fungsi yang dapat diturunkan lagi asal memenuhi syarat-syarat turunan.

Turunan kedua dari suatu fungsi f didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan pertama, turunan ketiga didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan kedua dan seterusnya. Turunan ke-n didefinisikan sebagai turunan dari fungsi turunan ke (n-1).

Notasi

Misalkan suatu fungsi f dinyatakan dengan persamaan y = f(x) maka notasi-notasi turunan pertama, kedua sampai turunan ke-n diberikan dalam tabel berikut:

Tabel 4.9.1